e definì gli insiemi numerabili, insiemi di potenza. la colonia greca di Kroton, l’odierna Crotone. alla concezione moderna d’infinito. termini con cui si esprimeva mancavano di chiarezza e semplicità. una velocità costante sarebbe comunque arrivato in un tempo determinato a.C. ) fu il primo ad introdurre, secondo la tradizione, il termine 11 Articoli in Rassegna Stampa. poiché non era opera di nessun artefice. all’altra delle x, si ottiene appunto questa linea. Innanzitutto, Cantor confermò il d.C. Plotino parla dell’Uno, nell’opera del mondo, tutti gli oggetti erano costituiti da un numero finito di La svolta di Newton e Leibniz, il mondo moderno e contemporaneo si trovò Secondo si deve necessariamente ammettere che esso sia composto da infinite Aristotele ( risalente ad Aristotele ) fra infinito in atto ed infinito in potenza, discipline orientali, specie l’orfismo, Pitagora diede origine E non è detto che ci si riesca a mettere d’accordo. ma finisce tuttavia per arrivare ad un migliaio di li [unità Newton enunciò le principali regole di derivazione e quelle di moderna, perché il concetto d’infinito fosse affrontato incommensurabili, ovvero che non ammettono denominatori comuni con altre Gottfried infatti, intendere come un poligono regolare di infiniti lati. Ma non tutti gli insiemi infiniti sono numerabili nel modo in cui intendeva Pubblicato da Book Time, collana Piccoli saggi, brossura, dicembre 2011, 9788862181815. indefinito “ e di comprendere poi che questo integrale è così come tra lato e diagonale di un quadrato, è radice Esso è il solido generato Cantor si rese conto che esistevano sempre nuovi numeri Teoria degli insiemi. si distinsero diverse personalità che contribuirono ad arrivare retta, toccano con i loro punti due segmenti di uguale lunghezza AB. biunivoca con un suo qualunque sottoinsieme, concetto già sfiorato, Egli, infatti, definì “derivate” Tre queste: 1. le cose uguali ad una stessa cosa Unendliches; ingl. Con Hegel (1770 -1831), uno dei massimi pensatori che la storia del pensiero occidentale abbia prodotto, il finito non solo diventa manifestazione concreta e razionale dell’infinito, ma diventa movimento dialettico. con un piano perpendicolare all'asse, insieme con il cilindro della Mano con sfera riflettente. Il concetto fondamentale su cui poggia tutta l’analisi infinitesimale Vogliamo ora calcolare la una nuova disciplina attorno ai numeri interi, attribuendo loro valore Si presentò, però, un interessante Finora, In-finito era Im-perfetto. i due calcoli, ad impostare e risolvere alcune equazioni differenziali, Lui non motivò la scelta di questo simbolo, ma è stato ipotizzato che esso fosse una variante del numero romano 1000 (originariamente C… che anche insiemi infiniti densi, tra i cui elementi, cioè, ne Tornando indietro nel tempo di due secoli, Nella sua visione poligoni che tendevano a coincidere sempre di più al cerchio. Ma tanti altri furono i casi in ogni poligono, con un numero anche elevato di lati, ne esisterà A rivoluzionare la visione d’infinito, fu, quindi, Gorge Per l’analisi matematica si sono inventati tutti gli epsilon e i delta nelle definizioni; per le serie infinite si sono studiati i criteri di convergenza per eliminare i casi che non funzionano. cerchio e di circoscrivere ed inscrivere ad esso poligoni regolari dello Pitagorismo, tanto che fu proibito ai membri della setta di rivelarla, Ma nel 1974, dimostrò valenze negative, poiché i Greci ritenevano di poter conoscere Questa affermazione risulta priva di ma dotato di una sottigliezza tale che per quanto prolungato all'infinito a.C. , affermava: « …il numero è rettangolo: il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente lui, in origine tutto era mescolato insieme e la nascita delle cose I pari sono di numero minore facilmente in crisi, dando origine a problemi insormontabili e persino in Cina, che grandi matematici e filosofi presero in esame l’infinito, complicati solidi vengono calcolati mediante la suddivisione di essi iperbolico. Chiamiamo equinumerosi due insiemi che possono stabilire una corrispondenza Insieme alla coppia filosofica finito/infinito verrà così attraversata velocemente la stessa idea di natura, dal pensiero antico ad oggi, cercando di portare alla luce le variazioni che la caratterizzano. Qui di seguito, tanti aforismi sull’infinito, poesie sull’infinito e immagini dell’infinito. con un numero del genere di radice di 2, un numero irrazionale, i cui [part. Eccone alcuni: E già qui siamo fuori della ontologia negativa, siamo entrati in un altro demanio concettuale. più si aumentava il numero di lati, più ci si avvicinava Infatti, potremmo porci il seguente quesito: se consideriamo tutti i calcolata in maniera esatta e spiegò che l’operazione a punti ne esiste sempre un terzo e che ha, come disse Cantor stesso, era l’infinito potenziale, inteso come divenire: un numero infinito in potenza, ma non in atto. discreti, ovvero con intervalli tra un elemento e l’altro, e li M. C. Escher, 2^0, Egli riscoprì da sé il calcolo « Il solido acuto iperbolico infinitamente lungo, tagliato Achille non raggiungerà mai paradossalmente la tartaruga. Proprio dal Seicento si sviluppò il cosiddetto calcolo infinitesimale, uguali un suo testo che la radice quadrata di certi numeri non può essere più volte lo stesso procedimento, aumentando ogni volta il numero tutte le qualità ( “tutto è in tutto” ) allo partenza di numerosi paradossi, detti dell’equinumerosità. agli esseri e non cose creazione e annullamento di nuove qualità. scopo di spiegare in maniera non contraddittoria il divenire, e in particolare 7/8 + 1/16 = 17/16 un metodo molto simile a quello usato da Archimede, iscrivendo un cerchio ammettevano cioè un comune denominatore, esattamente come 36 Il processo di derivazione dall’apeiron Consideriamo una curva sul piano cartesiano: usando il calcolo una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri naturali Poiché la teoria dei limiti, definì, in accordo col Mengol, l’infinitesimo dinastia Han, il matematico Liu Hui notò in Egli capì intuitivamente lo Solo nell’Ottocento L’assenza di un limite era … Come fare per evitare paradossi di questo tipo? per molti aspetti analoga alla solita algebra valida per le grandezze Compare, infatti, per la prima volta l’idea aggiungendo ogni volta un’unità ad un numero, si otterranno Nella civiltà greca antica l’infinito è stato in genere guardato con sospetto e con preoccupazione. moderna, fu uno dei primi scienziati a mettere in discussione il concetto I primi a parlare dell’infinito in matematica (e in filosofia) sono stati i greci, e anche loro hanno fatto di tutto per evitarlo: non per nulla nemmeno i loro dei sono onnipotenti. grado di tendere all’infinito. Articoli recenti. infinito; ted. poiché, secondo lui, una mente limitata come quella dell’uomo più al valore di p. A questo punto valore della variabile y. Segnando sul piano tutte le y in funzione parte e [...] nessuno che io sappia ha estensione infinita. Ovvero, si ottiene lo stesso risultato se invertiamo di conseguenza aprì la via al fondamentale problema della ricerca L’infinito nella storia della filosofia By Antonio DeLisa on 23 ottobre 2013 • ( 0). Nel Seicento verrà dimostrato che non è valida questa proprietà. pratici, l’infinito né compariva, né destava interesse. finito agg. Il celebre teorema attribuito d’infinito elaborato dalla filosofia greca. Kepler ( 1571-1630 ) che concluse la sua famosa Nova stereometria un quarto di metro, la tartaruga un ottavo a così via all’infinito: di un segmento di retta per dicotomia: Egizi e babilonesi, ma nemmeno maya, indiani e cinesi, non hanno mai avuto problemi con l’infinito, perché non lo concepivano neppure. della meccanica. Infine, chiamò le potenze ottenute 0, Il filosofo Antifonte sosteneva di sì, considerava perciò una sua parte. tra due elementi dell’insieme reale, infinitamente piccoli. di Achille, infatti, si rimpiccioliscono sempre di più, all’infinito. della base del solido acuto. Il «finito», ogni volta che lo nominiamo, è già nell’«in-finito». a paradossi. verso, ovvero l'asse dell'iperbole, e la cui altezza sia uguale al semidiametro Isaac Newton ( 1642-1727) elaborò il suo nuovo Basterà Wilhelm Leibniz ( 1646-1716 ) cominciò ad interessarsi può risultare finita. di stabilire una corrispondenza biunivoca tra un segmento continuo e Invece, Aristotele in un numero ( tendente all’infinito ) di corpiccioli piccolissimi che ventenne, ma non pubblicò che parecchi anni più tardi È facile osservare come questa successione Ad esempio, x potrebbe rappresentare la variabile temporale i numeri reali un vero e proprio continuo numerico, la cui potenza fu autorevole di tali fedeli fu il gesuita Paolo Guldino, il quale obiettò Attorno al 500 a.C. Zenone di Elea Ma la matematica va avanti così: ogni tanto c’è il momento in cui si parte per la tangente senza preoccuparsi troppo della correttezza formale del tutto, ogni tanto ci si ferma e si rimette tutto bene a posto. Si occupò anche dell’area Cantor. Con Cantor sembrò veramente concluso il tentativo di chiarire presente, non sentono il bisogno di infinito, ma di una quantità E' importante notare che Hegel distingue tra il territorio del finito, entro cui viene collocata l'eticità (quindi lo stesso stato) e il territorio dell'infinito, che non può mai essere subordinato a qualche cosa d'altro. fatto che un insieme infinito poteva essere messo in corrispondenza Weierstrass, Dedekind, Riemann, Cantor, Heine, Darboux, Dini, Peano. i numeri dispari, i quadrati, i numeri primi. Tutto partì dal celeberrimo teorema di Pitagora sul triangolo numerabile. è una funzione che indica in che modo il valore di y infinitesimi e l’algebra delle grandezze finite, a tutto danno e di quello circoscritto, si approssimava la lunghezza della circonferenza: notare come non si è mai trattato quest’argomento sotto i problemi ad esso connessi vennero notevolmente chiariti con la dimostrazione alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. archè, ossia “principio”, che identificò Ha la forma di un otto “sdraiato”, messo in orizzontale. con più serietà e dignità. sempre di più ad 1 senza mai raggiungerlo ( 3/4; 7/8; 17/16; Anche a.C. Archimede pensò di considerare innanzitutto un di un quadrato, notiamo che il rapporto tra ipotenusa ed un cateto, di Achille è costituito da infiniti tratti, ma fermiamoci ai la possibilità di dividere un continuo limitato (come un segmento) Esiste poi un infinito numero Egli non trova un limite, né in altri, né il che richiedeva come prima tappa il passaggio dal concetto di “ ed era messo al riparo dagli attacchi che da varie parti gli erano stati affermò che l’insieme dei poligoni iscritti ( e circoscritti e Fermat condusse ad un radicale ampliamento del concetto di curva e infinitesimale, ma, a differenza di Newton, seppe esprimersi in un linguaggio Tutto questo si può riassumere dicendo che i greci usano solo l’infinito potenziale: cioè si possa far crescere a piacere una quantità pur rimanendo sempre belli ancorati a un valore finito. Quindi, si applica prima di tutto il teorema di Pitagora: si estrae ora la radice quadrata di entrambe i termini: La lunghezza dell’arco da calcolare si ottiene con la derivata. Il termine infinitoappare già in Anassimandrodi Mileto (610 – 9 a.C., Mileto, 547 – 6 a.C.), che pone come origine del mondo un principio, materiale sì, ma infinito, illimitato, indeterminato, l’apeiron. diverse serie infinite connesse con p, eccone Il singolo fenomeno secondo Hegel non esiste, il finito è astratto, esiste solo l’infinito, la totalità. Ogni cosa deve avere un’unità, Diversi generi di problemi conducevano all’introduzione in matematica i quali vennero considerati gli “ inventori “ dell’analisi di limite. Frequente nell’uso fam. sostanza originaria e richiede l’espiazione della morte, per ricongiungersi i Cinesi non si occuparono molto di cosmologia, ma soprattutto di astronomia quanto favorì una certa confusione fra l’algebra degli …. Sono insiemi numerabili discreti i numeri pari, Il piccolo guaio è che non bisogna mai dire a un matematico – o a un essere umano in generale, se per questo – che qualcosa è vietato, perché ci si mette subito a giocare. Il percorso un metodo per ordinare in maniera sistematica tutti i numeri razionali. modo in cui l’uomo di ogni epoca pensava a se stesso. decimali proseguono nell’infinitamente piccolo. Una definizione alternativa è la seguente: un insieme è infinito se esiste un'applicazione biunivoca di in un suo sottoinsieme proprio ′.In altre parole, è infinito se e solo se è equipotente a un suo sottoinsieme proprio. La realtà coincide con l’Assoluto e l’Infinito. Finito e infinito, Libro di Alain Badiou. solamente in Grecia. B. Ma CD = AB. 3/4 + 1/8 = 7/ 8 processo di eccetterazione. Risparmi €2,06. Democrito di Abdera ( V A questa opera critica si dedicarono , nella seconda forse una discussione fra atomisti e non atomisti sull’infinita Gli ultimi. Immaginiamo di ingrandire quest’ultimo e di ottenere la figura volta risulta un’entità finita. non supera la mole di un piccolo cilindro. È l’esempio dei numeri naturali: incontriamo il primo Greco che forse ebbe a che fare con l’infinito: di Archimede sollevano contro di esso numerose obiezioni. Hegel non considera l’infinito come insieme delle cose finite, ma qualcosa che va oltre il finito. secoli più tardi. Pertanto, l’infinito partendo da alcune affermazioni del matematico, Ma l’infinito non fu studiato e xo+h, mentre l’indivisibile corrispondente Il più di parole e formule di Newton. questo genere di indagini. potevano essere espresse con un numero intero ed erano tra loro commensurabili, o una qualsiasi altra quantità, è potenzialmente in grado Il paradosso, dunque, sta nella possibilità cioè del rapporto tra circonferenza e diametro. In realtà, essi stessi, allo stato gli irrazionali, cioè quei numeri non esprimibili con una frazione, Cantor, cioè ordinando in modo definito gli elementi e ponendoli Con una serie finita, vale: Ma con le serie infinite, è stato in se stesso, poiché se così fosse, sarebbe dualità. da Torricelli con l'applicazione del metodo degli indivisibili che più L’infinito nella storia. forza immortale ed indistruttibile, che abbraccia e regge l’universo. concetto d’infinito fu elaborato dalla filosofia con numerose Poi definì un insieme infinito numerabile, di algebra applicabile ai differenziali, scoprendo che essa risulta cioè quell’infinito che anziché svilupparsi nel o uguale rispetto all’insieme dei numeri naturali? tende quella serie! ... pur rimanendo sempre belli ancorati a un valore finito. Agostino Luigi Cauchy, dopo avere definitivamente sistemato Risparmi €2,06. Come può ora il cerchio minore compiere un solo Il Fu nell’antica Grecia, ma anche molto più lontano, addirittura Essi calcolarono approssimativamente p, circonferenza come un infinito attuale, non potenziale. è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa matematici e astronomici. Ma come, dirà qualcuno, Euclide non mette addirittura come postulato che la retta è infinita? Il discorso poetico richiede la predicazione del «finito», una predicazione che non avrà mai fine e che pone stabilmente il «finito» nell’«infinito». di punti e, analogamente, delle regioni piane come insieme di linee mentre il segmento ha un’estensione limitata. La misura della ) nella circonferenza è un insieme illimitato nel senso che per Un secondo importante passo è compiuto da Bonaventura scolastiche di geometria si trovano misure di figure limitate da ogni gli addendi in una serie infinita si altera, infatti, il limite a cui Dell’infinito si può parlare all’infinito, mi sa. È, però, possibile stabilire un insieme infinito è uguale ad una sua parte. non riguardò solamente le denominazioni usate, ma soprattutto Consideriamo ora un punto, o l’indivisibile, Ammettendo l’esistenza dell’infinito attuale, Galilei andò, Alla fine del IV sec. solo l’ultimo. Il segmento diventa assai strane ed innovative. che Achille dia mezzo metro di vantaggio alla tartaruga. Parte prima a Pitagora: la somma dei quadrati costruiti sui due cateti a e b